Stability of an inverse problem for the discrete wave equation and convergence results

Using uniform global Carleman estimates for semi-discrete elliptic and hyperbolic equations, we study Lipschitz and logarithmic stability for the inverse problem of recovering a potential in a semi-discrete wave equation, discretized by finite differences in a 2-d uniform mesh, from boundary or internal measurements. The discrete stability results, when compared with their continuous counterparts, include new terms depending on the discretization parameter h. From these stability results, we design a numerical method to compute convergent approximations of the continuous potential. Résumé A partir d’inégalités de Carleman pour des équations aux dérivées partielles dicrétisées elliptiques et hyperboliques, nous étudions la stabilité Lipschitz et logarithmique du problème inverse de détermination du potentiel dans une équation des ondes semi-discrétisée, par un schéma aux différences finies sur un maillage 2-d uniforme, à partir de mesures internes ou frontières. Quand ils sont comparés avec leur contrepartie continue, les résultats de stabilité dans le cadre discret contiennent de nouveaux termes dépendants du pas h du maillage utilisé. C’est à partir de ces résultats que nous décrivons une méthode numérique de calcul d’approximations convergentes du potentiel continu.